Ciąg (matematyka) – Wikipedia, wolna encyklopedia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Spis treści

1 Definicja
2 Określanie
3 Własności
4 Rodzaje
5 Przestrzenie ciągów
6 Zobacz też
7 Linki zewnętrzne

Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

Przykładami ciągów mogą być następujące:

ciąg pięciu elementów $10,\ 2,\ 3,\ 0,\ 12$ zbioru liczb naturalnych;
ciąg liczb całkowitych $1$ oraz $-1$ przyjmowanych naprzemiennie;
ciąg kolejnych liczb pierwszych;
ciąg wszystkich liczb wymiernych uporządkowanych w jakiś sposób.

[edytuj] Definicja

Ciągiem określonym na dowolnym zbiorze $X$ nazywa się dowolną funkcję $a\colon I \to X,$ gdzie $I$ jest dowolnym podzbiorem (być może niewłaściwym) zbioru liczb naturalnych. Zbiór $I$ nazywa się zbiorem wskaźników lub indeksów, a jego elementy – wskaźnikami bądź indeksami. Jeśli zbiór wskaźników jest skończony, to sam ciąg również nazywa skończonym, jeśli zbiór $I$ nie jest skończony, to ciąg nazywa się nieskończonym.

Wartości funkcji $a$ nazywa się wyrazami bądź elementami ciągu i w miejsce tradycyjnego zapisu $a(i)$ stosuje się zwykle zapis $a_i.$ Sam ciąg oznacza się zazwyczaj nie za pomocą symbolu funkcji, tutaj $a,$ lecz dłuższej notacji $(a_i)_{i \in I}$ lub krótszych jej wariantów $(a_i)_i,$ a nawet $(a_i),$ gdzie napis w nawiasie nazywa się wyrazem ogólnym ciągu. Niekiedy zamiast nawiasów okrągłych stosuje się nawiasy klamrowe, np. $\{a_i\}_{i \in I}.$ Jeśli $X$ jest zbiorem liczb zespolonych, to unika się stosowania jako wskaźnika litery $i,$ którą zwykło się oznaczać jednostkę urojoną (w zastosowaniach wykorzystuje się czasem do tego celu literę $j$ ); w przypadku kwaternionów unika się zwykle liter $i, j, k,$ którymi tradycyjnie oznacza się elementy bazowe tej algebry.

Zwykle przyjmuje się $I = \{1, \dots, k\}$ (bądź od zera) w przypadku skończonym i pisze często $(a_i)_{i = 1}^k$ oraz $I = \mathbb N$ w przypadku nieskończonym i zapisuje $(a_i)_{i = 1}^\infty$ (lub od zera, w zależności od przyjętej definicji liczb naturalnych).

[edytuj] Określanie

Zobacz też: zmienne zależna i niezależna.

Wiele ciągów można zdefiniować na kilka równoważnych sposobów, dlatego wybór sposobu zależy zwykle od zastosowań. Należy mieć przy tym świadomość, że liczba tych ciągów, które można opisać za pomocą jednego z poniższych sposobów jest znikoma, choć nieskończona, w porównaniu do wszystkich możliwych ciągów $I \to X,$ gdzie $I, X$ są ustalonymi zbiorami nieskończonymi. Wynika to z faktu, iż liczba wszystkich możliwych do zapisania formuł jest co najwyżej przeliczalna, natomiast zbiór wszystkich ciągów jest nieprzeliczalny.

Podanie wzoru na wyraz ogólny

Jeżeli wyraz ogólny $a_i$ jest (względnie nieskomplikowaną) funkcją wskaźnika $i,$ np.

$a_i = i - 2$ lub $a_i = 3^i,$ czy $a_i = \sin 1/i,$

to ciąg można określić wskazując ten związek, np.

$a = (i - 2)_{i = 1}^\infty,\quad (a_i) = (3^i)_2^7, \quad (a_i)_{i \in \mathbb N} = (\sin 1/i)_i$

Wskazanie wyrazów

Jeśli ciąg jest skończony i ma niewiele wyrazów, to najszybszą metodą jest zwykle podanie tych wyrazów (jak to uczyniono w pierwszym przykładzie we wstępie). Jeśli wyrazów jest więcej, to zwykle korzysta się z domyślności czytelnika względem wzoru na wyraz ogólny, z tego powodu reguła wiążąca wskaźnik z wyrazem o tym wskaźniku powinna być w tym wypadku szczególnie prosta, np.

$\Big((-1)^k\Big)_{k = 1}^9 = (-1, +1, -1, +1, -1, +1, -1, +1, -1).$

Jeżeli wyrazów jest więcej, to wypisanie kilku początkowych i końcowych wyrazów zwykle wystarcza do odgadnienięcia postaci ciągu, np.

$(1, 3, 5, 7, \dots, 97, 99) = (2l - 1)_{l = 1}^{50}.$

Podobnie w przypadku ciągów nieskończonych, gdzie nie podaje się z oczywistych względów ostatniego wyrazu:

$(1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots) = \left(m^2\right)_{m = 1}^\infty.$

Określenia rekurencyjne: Zobacz też: rekurencja.

Definicja rekurencyjna to w istocie wariant podawania wzoru na wyraz ogólny, jednak w tym wypadku funkcja nie jest dana w postaci jawnej (zależnej tylko od wskaźnika), ale również od poprzednich wyrazów danego ciągu. Przykładem ciągu zależnego od dwóch poprzednich wyrazów jest ciąg Fibonacciego dany wzorem

$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ dla $n > 1,$

przy czym $a_0 = 0$ oraz $a_1 = 1.$ Oczywiście dany wyraz może zależeć od jednego wyrazu, np. ciąg kolejnych silni można zadać wzorem:

$a_k = k a_{k - 1},$

z warunkiem $a_0 = 1,$ jak i od wszystkich poprzednich wyrazów ciągu, np. ciąg liczb Bernoulliego zadaje się równaniem

$B_m = -\sum_{k=0}^{m - 1} \binom mk \frac{B_k}{m - k + 1}$ dla $m > 0,$

gdzie $B_0 = 1.$

Ciąg naprzemienny (z drugiego przykładu we wstępie) dany wzorem $a_k = (-1)^k$ można zdefiniować rekurencyjnie jako

$a_k = -a_{k-1}$ dla $k > 0,$

przymując $a_0 = 1.$ Z drugiej strony często pożądana jest definicja jawna (nierekurencyjna) ciągów określonych rekurencyjnie, ma ją np. wyżej wspomniany ciąg liczb Bernoulliego:

$B_m = \sum_{k = 0}^m \sum_{n=0}^k (-1)^n \binom kn \frac{n^m}{k + 1}.$

Do definiowania ciągu niekiedy wykorzystuje się inny wcześniej dany ciąg; przykładami mogą być opisane dalej szeregi, czy iloczyny nieskończone, których wyrazy zależą od poprzedniego i wyrazu o tym samym wskaźniku innego ciągu.

Definicje opisowe

Każda z powyższych zależności funkcyjnych musi być wystarczająco prosta, aby była użyteczna w zastosowaniach. Można ograniczyć się przykładowo do funkcji elementarnych, jednak najbardziej naturalną klasą funkcji zdają się być funkcje obliczalne, czyli te, dla których istnieje reguła wyliczania jej kolejnych wartości dla kolejnych wskaźników. Mimo wszystko wykorzystuje się niekiedy także funkcje rozważane w analizie matematycznej, które mogą być uznawane za patologiczne, umożliwiają one w dość zwięzły sposób zdefiniowanie trudnych w innym opisie ciągów, np. funkcja π (pi), która opisuje liczbę liczb pierwszych nie większych od danej, definiuje ciąg

$(0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, \dots),$

czy funkcja ζ (zeta/dzeta), która ułatwia zdefiniowanie wyżej opisanego ciągu liczb Bernoulliego.

Z tego powodu słowny opis wyrazów ciągów (co można zaobserwować już w dwóch ostatnich przykładach we wstępie) jest częstokroć łatwiejszy niż podanie kilku pierwszych wyrazów, czy podanie wzorów na wyraz ogólny albo definicja rekurencyjna, co (we wspomnianych przypadkach: ciąg liczb pierwszych i ciąg liczb wymiernych) mogłoby być karkołomne i bardziej zaciemniałoby intencje definiującego ciąg niż je tłumaczyło. Często definicje rekurencyjne są bardziej „eleganckie”, lecz cechuje je zwykle duża złożoność obliczeniowa.

[edytuj] Własności

Ponieważ ciągi definiuje się jako funkcje, to do ich określania stosuje się pojęcia związane z funkcjami, np. ciąg stały, ciąg monotoniczny (rosnący, malejący, niemalejący, nierosnący), czy ciąg ograniczony.

Jeśli struktura określona na zbiorze elementów ciągu umożliwia mówienie o granicy ciągu, np. struktura metryczna, to ciąg, który ma granicę (właściwą) nazywa się zbieżnym, a w przeciwnym wypadku mówi się, iż jest on rozbieżny. Ciąg spełniający tzw. warunek Cauchy'ego, czyli ciąg, którego wyrazy „zbliżają się” do siebie, nazywa się ciągiem Cauchy'ego.

O ciągach zbiorów można powiedzieć, że są zstępujące lub wstępujące w zależności od tego, czy kolejne wyrazy (zbiory) ciągu zawierają się w poprzedzającym, czy w kolejnym.

[edytuj] Rodzaje

Osobne artykuły: ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny, szereg nieskończony i iloczyn nieskończony.

W przypadku, gdy elementy należą do pewnego ciała (np. liczb wymiernych, czy rzeczywistych), można wyróżnić następujące, ważne rodzaje ciągów:

arytmetyczny z parametrami: różnicą $r$ oraz wyrazem początkowym $a_1,$

$a_k = a_{k-1} + r$ w postaci rekurencyjnej,

$a_k = a_1 + (k - 1)r$ w postaci jawnej,
geometryczny z parametrami: ilorazem $q$ i wyrazem początkowym $a_1,$

$a_l = a_{l-1}q$ w postaci rekurencyjnej,

$a_l = a_1 q^{l - 1}$ w postaci jawnej.

Szereg definiuje się rekurencyjnie jako ciąg $(s_m)$ zależny od ciągu $(a_n)$ wg reguły

$s_m = s_{m - 1} + a_m,$

gdzie $s_1 = a_1.$ W postaci jawnej zapisuje się go zwykle jako ciąg tzw. sum częściowych,

$s_m = \sum_{n = 1}^m a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_m,$

co tylko pozornie omija rekurencyjną naturę definicji. Jeżeli $a_n$ jest ciągiem funkcyjnym, to szereg również nazywa się szeregiem funkcyjnym.

Podobnie definiuje się iloczyny nieskończone jako ciągi $(p_m)$ zależne od ciągów $(a_n)$ w następujący sposób:

$p_n = p_{n-1} a_n,$

przy czym $p_1 = a_1.$

[edytuj] Przestrzenie ciągów

Osobny artykuł: przestrzeń funkcyjna.

W zbiorze $K^I$ ciągów $I \to K$ o elementach z ustalonego ciała $K,$ gdzie $I$ jest pewnym zbiorem wskaźników można określić działania wprowadzając tym samym pewną strukturę algebraiczną, bądź wprowadzić w niej metrykę wprowadzającą strukturę topologiczną.

Dodawanie

Sumę dwóch ciągów definiuje się zwykle jako ciąg o wyrazach będących sumą odpowiednich wyrazów tych ciągów,

$(a_i) + (b_i) := (a_i + b_i).$

Wśród ciągów nad ustalonym ciałem można wyróżnić ciąg stale równy zeru, który pełni rolę elementu neutralnego dodawania ciągów; można również wyróżnić element przeciwny do danego będący ciągiem o wyrazach przeciwnych do niego, czyli

$-(a_i) := (-a_i).$

Działanie to prowadzi do określenia odejmowania i wprowadzenia struktury grupy (przy czym można je określić na ciągach elementów z uboższej struktury algebraicznej, np. grupy i dalej uogólniać).

Mnożenie

Mnożenie dwóch ciągów,

$(a_i)(b_i) := (c_i),$

można określić jako

$c_i = a_i b_i,$

co czyni z $K^I$ pierścień (z dzielnikami zera). Przyjęcie definicji Cauchy'ego (wariantu splotu dyskretnego, por. mnożenie Cauchy'ego szeregów i macierzy),

$c_i := \sum_{k = 1}^i a_k b_{i-k},$

przy założeniu, że zbiór wskaźników $I = \mathbb N,$ zadaje w $K^I$ strukturę pierścienia bez dzielników zera. Struktura ta jest izomorficzna z sumą prostą $I$ egzemplarzy $K.$ Można w niej zanurzyć pierścień wielomianów o współczynnikach z $K.$

Mnożenie przez skalar: Zobacz też: przykłady przestrzeni liniowych.

Działanie mnożenia ciągu przez ustalony element z ciała (mnożenie przez skalar),

$c(a_i) := (ca_i),$

czyni z $K^I$ wraz z dodawaniem przestrzeń liniową (jeśli rozpatruje się ciągi o elementach z ciała) lub moduł (jeśli elementy ciągów pochodzą z pierścienia) nad $K.$ Jeśli $I$ jest skończony, to $K^I$ z działaniami dodawania ciągów i mnożenia ich przez skalar nazywa się przestrzenią współrzędnych.